Question

如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A),要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米).如何設(shè)計, 可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．

 

 

Answer 1

參考解析

【解析】

試題分析：假設(shè)角AMN的值為θ，由三角形AMN中角NAM為.由正弦定理可得到AM的表達式，在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值，由角θ的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性知識即可得到結(jié)論.本小題用了五種解法分別從三角，坐標(biāo)系，圓等方面入手.

解法一：設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因為MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ）． 2分

在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ). 4分

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分

＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分

當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°,即θ＝60°時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.

答：設(shè)計∠AMN為60?時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小． 12分

解法二(構(gòu)造直角三角形)：

設(shè)∠PMD＝θ,在△PMD中,

∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ. 2分

在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,

AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥時,結(jié)論也正確). 4分

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ 6分

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin(2θ－),θ∈(0,). 10分

當(dāng)且僅當(dāng)2θ－＝，即θ＝時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此時AM＝AN＝2,∠PAB＝30° 12分

解法三：設(shè)AM＝x,AN＝y(tǒng),∠AMN＝α.

在△AMN中,因為MN＝2,∠MAN＝60°,

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN,

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4. 2分

因為＝,即＝,

所以sinα＝y,cosα＝＝＝. 4分

cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝. 6分

在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP,

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy. 10分

因為x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.

所以AP2≤12,即AP≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時,AP取得最大值2.

答：設(shè)計AM＝AN＝2 km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小． 12分

解法四(坐標(biāo)法)：以AB所在的直線為x軸,A為坐標(biāo)原點,建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M(x1,0),N(x2, x2),P(x0,y0).∵MN＝2,

∴(x1－x2)2＋3x22＝4. 2分

MN的中點K(,x2)．

∵△MNP為正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,

∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3,

kMN·kPK＝－1,即·＝－1, 4分

∴y0－x2＝ (x0－),∴(y0－x2)2＝ (x0－)2

∴(1＋)(x0－)2＝3,即 (x0－)2＝3,∴(x0－)2＝x22．

∵x0－＞0 ∴x0－＝x2,

∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1． 6分

∴AP2＝x02＋y02＝(2x2＋x1)2＋x12＝x12＋4x22＋2x1x2

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12, 10分

即AP≤2.

答：設(shè)計AM＝AN＝2 km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小． 12分

解法五(幾何法)：由運動的相對性,可使△PMN不動,點A在運動.

由于∠MAN＝60°,∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上, 4分

設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，

由圖形的幾何性質(zhì)知：AP的最大值為PF＋R. 6分

在△AMN中,由正弦定理知：＝2R,

∴R＝, 8分

∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是線段MN的垂直平分線.

設(shè)PF與MN交于E，則FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．

即FE＝，又PE＝. 10

∴PF＝,∴AP的最大值為PF＋R＝2.

答：設(shè)計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小． 12分

考點：1.解三角形的知識.2.正余弦定理.3.坐標(biāo)法解題思想等.