Question

5．如果一個三角形最大角是最小角的2倍，且三邊是連續的自然數，則這個三角形的邊長分別為（　　）

• A． 2，3，4
• B． 3，4，5
• C． 4，5，6
• D． 不存在

Answer 1

分析 根據三角形滿足的兩個條件，設出三邊長分別為n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出關系式，根據二倍角的正弦函數公式化簡后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，將表示出的cosα代入，整理后得到關于n的方程，求出方程的解得到n的值，從而得到三邊長的值，

解答 解：設三角形三邊是連續的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}=\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化簡可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，故三角形的三邊長分別為：4，5，6
故選C．

點評 本題主要考察正弦定理在解三角形中的應用問題．解決本題的關鍵在于根據條件得到：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，化簡，得：n²-5n=0，進而求出結論．