Question

求式子（|x|+

1

|x|

-2）³的展開式中的常數項．

Answer 1

分析：解法一：利用分步乘法原理展開式中的常數項是三種情況的和，
解法二：先將(|x|+

1

|x|

-2)2利用完全平方公式化成二項式，利用二項展開式的通項公式求得第r+1項，令x的指數為0得常數項．

解答：解法一：（|x|+

1

|x|

-2）³=（|x|+

1

|x|

-2）（|x|+

1

|x|

-2）（|x|+

1

|x|

-2）得到常數項的情況有：
①三個括號中全取-2，得（-2）³；
②一個括號取|x|，一個括號取

1

|x|

，一個括號取-2，得C₃¹C₂¹（-2）=-12，
∴常數項為（-2）³+（-12）=-20．
解法二：（|x|+

1

|x|

-2）³=（

|x|

-

1

|x|

）⁶．
設第r+1項為常數項，
則T_r+1=C₆^r•（-1）^r•（

1

|x|

）^r•|x|^6-r=（-1）⁶•C₆^r•|x|^6-2r，得6-2r=0，r=3．
∴T₃₊₁=（-1）³•C₆³=-20．

點評：本題考查解決二項展開式的特定項問題的重要工具有二項展開式的通項公式；還有分步乘法原理．