Question

已知三個點A（2，1），B（3，2），D（-1，4），

（1）求證：AB⊥AD；

（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標并求矩形ABCD兩對角線所夾的銳角的余弦值.

Answer 1

（1）證明：∵A（2，1），B（3，2），D（-1，4），

∴=（1，1），=（-3，3）.

又∵·=1×（-3）+1×3=0，

∴⊥，即AB⊥AD.

（2）解：⊥，四邊形ABCD為矩形，∴=.

設C點坐標為（x，y），則由=（1，1），=（x+1，y-4）.

∴解得

∴C點坐標為（0，5）.

從而=（-2，4），=（-4，2），

且||=，||=.

·=8+8=16，

設與夾角為θ，則cosθ=，所以求得矩形兩條對角線所成的銳角的余弦值為.