Question

已知函數f（x）=-

1

2

x²+blnx在區間[

2

，+∞）上是減函數，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：由f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
當b≤0時，在區間[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，此時函數f（x）=-

1

2

x²+blnx在區間[

2

，+∞）上是減函數，滿足條件；
當b＞0時，在區間[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，由函數f（x）=-

1

2

x²+blnx在區間[

2

，+∞）上是減函數，可得：

b

≤

2

，
最后綜合討論結果，可得滿足條件的b的取值范圍．

解答： 解：∵函數f（x）=-

1

2

x²+blnx，
∴f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
當b≤0時，在區間[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
此時函數f（x）=-

1

2

x²+blnx在區間[

2

，+∞）上是減函數，滿足條件；
當b＞0時，在區間[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
由函數f（x）=-

1

2

x²+blnx在區間[

2

，+∞）上是減函數，
可得：

b

≤

2

，即0＜b≤2，
綜上所述b≤2，
即b的取值范圍是（-∞，2]，
故答案為：（-∞，2]

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，是導數法研究函數單調性的簡單應用，難度不大，屬于基礎題．