Question

5．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦點為F，右頂點為A，點P在橢圓上，若FP⊥PA，則直線PF的斜率可以是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出A、F的坐標，設出P的坐標，求出的坐標，由題意可得方程組，解方程組求得點P的坐標．然后求解斜率．

解答 解：由已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦點為F（-2，0），右頂點為A（3，0），設點P（x，y），則$\overrightarrow{PA}$=（3-x，-y），$\overrightarrow{FP}$=（x+2，y）．
由已知FP⊥PA，可得$\left\{\begin{array}{l}{（3-x）（x+2）+y（-y）=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，4x²-9x-9=0，解得x=3，或x=-$\frac{3}{4}$．
由題意x=-$\frac{3}{4}$，于是y=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．∴點P的坐標是（-$\frac{3}{4}$，±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．
直線PF的斜率：$\frac{±\frac{5\sqrt{3}}{4}}{-\frac{3}{4}+2}$=$±\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質和點到直線的距離公式，兩個向量垂直的性質，求出點P的坐標，是解題的難點．