Question

7．如圖，點P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線BC₁（線段BC₁）上運動，給出下列五個命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③二面角P-AD₁-C的大小不變；
④直線AD與直線B₁P為異面直線；
⑤點M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則點M一定在直線A₁D₁上．
其中真命題的編號為①③④⑤．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 對于①：容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，以P為頂點，平面AD₁C為底面，易得；
對于②：可以從向量的角度進行判斷；
對于③：平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，得到結論；
對于④：根據異面直線的判定定理，可得結論；
對于⑤：點M到點D和C₁距離相等，故點M在平面A₁D₁CB上，進而可得結論．

解答 解：對于①：容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點，平面AD₁C為底面，
則三棱錐A-D₁PC的體積不變；①正確；

對于②：∵隨著P點的移動，$\overrightarrow{AP}$與平面ACD₁的法向量的夾角也是變化的，∴②錯誤
對于③：∵平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，∴③正確；
對于④：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P與AD不平行，故直線AD與直線B₁P為異面直線；④正確；
對于⑤，點M到點D和C₁距離相等，故點M在平面A₁D₁CB上，又由M在平面A₁B₁C₁D₁上，故點M一定在直線A₁D₁上．故⑤正確．
故答案為：①③④⑤

點評 本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉化的思想．