Question

如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分別在線段上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

（1）求證：BC⊥AC1；

（2）試探究：在AC上是否存在點F，滿足EF／／平面A1ABB1，若存在，請指出點F的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線線垂直,線面垂直、線面平行、面面平行等數學知識，考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力，考查學生的數形結合思想.第一問，由于AA1⊥面ABC，所以利用線面垂直的性質得垂直面內的線BC，而，利用線面垂直的判定得面，所以BC垂直于面內的線；第二問，法一：先找到F點的位置，再證明，作出輔助線，因為，所以得到，而，即，所以且，所以四邊形AFEG為平行四邊形，所以，所以利用線面平行的判定得平面；法二：作出輔助線，利用線面平行的判定，可以推斷出平面，平面，利用面面平行的判定，得面平面，所以得平面.

試題解析：(1)∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，

∴BC⊥AA1.（1分）

又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）

又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）

(2)(法一)當AF＝3FC時，FE∥平面A1ABB1.（7分）

理由如下：在平面A1B1C1內過E作EG∥A1C1交A1B1于G，連結AG.

∵B1E＝3EC1，∴，

又AF∥A1C1且，

∴AF∥EG且AF＝EG，

∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，（10分）

又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

(法二)當AF＝3FC時，FE∥平面A1ABB1.（9分）

理由如下：在平面BCC1B1內過E作EG∥BB1交BC于G，連結FG.

∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1，

∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，

∴FG∥AB，又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1，

∴FG∥平面A1ABB1.

又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面A1ABB1.（11分）

∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

考點：1. 線線垂直的判定；2.線面垂直的判定；3.線面平行的判定；4.面面平行的判定.