Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在區間上單調遞減，在上單調遞增 （Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導得到，設，根據其單調性得到的單調性.

（Ⅱ）先證明當時，（）恒成立，計算得到在及處均取極小值，且，即，得到，得到證明.

（Ⅰ），（）.

設（），則，易知在區間單調遞減，在單調遞增，

所以，則當時，成立，

易知在區間上，單調遞減，在上，單調遞增，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（）.

令（），

下面考察當時，的根的情況，從而討論的正負情況.

先證明當時，（）恒成立，

設，則，，

設，則在時恒成立，

故在時單調遞增，故，

故在時單調遞增，故.

則，（），

所以有，，而，

必存在，，使得，所以此時在區間，上，

單調遞增，在，上，單調遞減；

所以在及處均取極小值，且，即，

又，因為，所以有，即，同理有.

即，所以當時，成立.