Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=x|x﹣a|．
（1）當a=2時，將函數f（x）寫成分段函數的形式，并作出函數的簡圖，寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）當a＞2時，求函數y=f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=x|x﹣2|= ，

故作其圖象如右圖，

函數y=f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，1]，（2，+∞）；

（2）解：f（x）= ，

①當1＜ ＜2，即2＜a＜4時，

f（x）在[1， ]上是增函數，在（ ，2]上是減函數；

而f（1）=a﹣1，f（2）=2a﹣4，

故f（1）﹣f（2）=a﹣1﹣2a+4=3﹣a，

故當2＜a≤3時，

f（1）≥f（2），

故fmin（x）=f（2）=2a﹣4；

當3＜a＜4時，

f（1）＜f（2），

故fmin（x）=f（1）=a﹣1；

②當a≥4時，f（x）在[1，2]上是增函數，

故fmin（x）=f（1）=a﹣1；

綜上所述，fmin（x）= ．

【解析】（1）化簡f（x）=x|x﹣2|= ，從而作其圖象，并寫出單調增區間；（2）化簡f（x）= ，分類討論以確定函數的單調性，從而比較以確定函數的最小值．
【考點精析】掌握二次函數在閉區間上的最值是解答本題的根本，需要知道當時，當時，；當時在上遞減，當時，．