Question

19．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，點M在AB₁的中點，點P為對角線AC₁上的動點，點Q為底面ABCD上的動點（P，Q可以重合），則MP+PQ的最小值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，利用折疊與展開法則同一個平面，轉化折線段為直線段距離最小，轉化求解MP+PQ的最小值．

解答 解：由題意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距離最小，展開三角形ACC₁與三角形AB₁C₁，在同一個平面上，
如圖，易知∠B₁AC₁=∠C₁AC=30°，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可知MQ⊥AC時，MP+PQ的最小，最小值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}sin60°$=$\frac{3}{4}$．
故答案為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查最小值的求解，考查空間想象能力以及學生的計算能力，難度比較大．