Question

【題目】已知橢圓的左右焦點為，，離心率為，過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于點，兩點，與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點，，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和過焦點且垂直于軸的弦長列方程，解方程求得，由此求得橢圓方程.

（2）聯立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數關系，結合求得的值，根據的取值范圍以及弦長公式，求得的最小值.

（1）由題可知：，且，

解得，，.

則橢圓的方程為；

（2）把代入得，

設，，則，，

又，，

因，所以，即，

所以，

因為與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點，，

所以，又，

則，

故，，

因為直線即與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點，由于，直線過，

所以，即，且，

所以

，

因為，且，

所以當或時的最小值為.