Question

【題目】如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則下列說法正確的是______（填序號）

①無論點在上怎么移動，都有；

②無論點在上怎么移動，異面直線與所成角都不可能是；

③當點移動至中點時，直線與平面所成角最大；

④當點移動至中點時，才有與相交于一點，記為點，且.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

推導出平面可判斷命題①的正誤；設正方體的棱長為，求得的取值范圍，可求得異面直線與所成角的余弦值的取值范圍，進而可判斷命題②的正誤；利用線面角的定義可判斷命題③的正誤；可知三棱錐為正三棱錐，可得出點為正的中心，利用重心的性質可判斷④的正誤.綜合可得出結論.

對于命題①，如下圖所示，連接、、，

四邊形為正方形，則，

平面，平面，，

，平面，，

同理可得，，平面，

平面，，命題①正確；

對于命題②，過點作平面，垂足為點，連接，設正方體的棱長為，

則且，所以，異面直線與所成角等于，

易知是邊長為的等邊三角形，當點在線段上運動時，，且，

異面直線與所成角都不可能是，命題②正確；

對于命題③，設點到平面的距離為，設直線與平面所成的角為，

當時，即當點為的中點時，取最小值，此時取最大值，

即當點移動至中點時，直線與平面所成角最大，命題③正確；

由①可知，平面，且，

則三棱錐為正三棱錐，則與平面的唯一交點為正的中心，

如下圖所示：

連接并延長交于點，則為的中點，且為正的重心，

由重心的性質可知，命題④正確.

故答案為：①②③④.