Question

【題目】已知點，過點D作拋物線的切線l，切點A在第二象限．

（1）求切點A的縱坐標．

（2）有一離心率為的橢圓恰好經過切點A，設切線l與橢圓的另一交點為點B，切線l，的斜率分別為，若成等差數列，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）縱坐標；（2）.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求出切線的方程，點D 的坐標代入切線方程可得，再由點A在拋物線上有，得解；（2）由橢圓的離心率得，代入橢圓方程并與直線的方程聯立得關于x的一元二次方程，利用韋達定理用k、b表示出、，由成等差數列可得，由已知條件將上式轉化為關于k、b的方程即可求得b，從而求得橢圓方程.

（1）設切點，則有，

，，由切線l的斜率為，得l的方程為，

又點在l上，所以，即，所以點A的縱坐標．

（2）由（1）得，切線斜率，

設，切線方程為，

由得，

又，所以，所以橢圓方程為．

由得，，．

又因為成等差數列，所以，

即

，

解得，所以，所以橢圓方程為．