Question

14．若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[A，B]為函數(shù)y=f（x）的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)[A，B]與[B，A]可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 求出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，轉(zhuǎn)化為x＜0時(shí)，函數(shù)的極大值為2，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，x≥0，f（x）=-x³+6x²-9x+a，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為f（x）=-x³-6x²-9x-a（x＜0），
∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，
∴x＜0時(shí)，函數(shù)的極大值為2，
f′（x）=-3（x+3）（x+1），函數(shù)在（-∞，-3），（-1，0）單調(diào)遞減，（-3，-1）單調(diào)遞增，
∴x=-1時(shí)取得極大值，即1-6+9-a=2，∴a=2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義題目，讀懂題意，確定x＜0時(shí)，函數(shù)的極大值為2是解決本題的關(guān)鍵．