Question

9．如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A為BE的中點，將△EDA沿AD折到△PDA位置（如圖2），使得PA⊥平面ABCD，連接PC、PB，構成一個四棱錐P-ABCD．
（Ⅰ）求證AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出ABCD為平行四邊形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，從而AD⊥平面PAB，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小．

解答 （Ⅰ）證明：在圖1中，∵AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，
∵∠B=90°，∴AD⊥BE，
當△EDA沿AD折起時，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，
又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：①以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{a+b-c=0}\\{a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設二面角B-PC-D的大小為θ，
則cosθ=-$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°．
∴二面角B-PC-D的大小為120°．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，正確運用向量法是關鍵．