Question

定義在非零實數集上的奇函數f（x）在（-∞，0）上時減函數，且f（-3）=0．
（1）求f（3）的值；
（2）求滿足f（x）＞0的x的集合；
（3）若g（x）=

2

acos（x+

π

4

）+1-a（a∈R），x∈[

3π

2

，2π]，是否存在正實數a，使得f（g（x））＞0恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義和性質即可求f（3）的值；
（2）根據函數奇偶性和單調性之間的關系即可求滿足f（x）＞0的x的集合；
（3）不等式f（g（x））＞0等價為0＜g（x）＜3或g（x）＜-3，利用三角函數的單調性和值域即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數，且f（-3）=0，
∴f（3）=-f（-3）=0；
（2）∵奇函數f（x）在（-∞，0）上時減函數，
∴函數f（x）在（0，+∞）上時為減函數，
當x＞0時，f（x）＞0等價為f（x）＞f（3），即0＜x＜3，
當x＜0時，f（x）＜0等價為f（x）＞f（-3），即x＜-3，
即滿足f（x）＞0的x的集合為（0，3）∪（-∞，-3）；
（3）由（2）知f（x）＞0的x的集合為（0，3）∪（-∞，-3）；
則f（g（x））＞0等價為0＜g（x）＜3或g（x）＜-3，
若g（x）=

2

acos（x+

π

4

）+1-a（a∈R），x∈[

3π

2

，2π]，
則x+

π

4

∈[

7π

4

，

9π

4

]，
此時

2

2

≤cos（x+

π

4

）≤1，
則1≤

2

acos（x+

π

4

）+1-a≤（

2

-1）a+1，
由題意可知若不等式恒成立，
則（

2

-1）a+1＜3，
即a＜

2

2 -1

=2（

2

+1），
故0＜a＜2（

2

+1），
則存在正實數a，當0＜a＜2（

2

+1）時，使得f（g（x））＞0恒成立．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用函數奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．