Question

已知兩個向量

e1

、

e2

不共線，如果

a

=

e1

+2

e2

，

b

=2

e1

-4

e2

，

c

=4

e1

-7

e2

，是否存在非零實數λ、μ，使得向量

d

=λ

a

+μ

b

與

c

共線？

Answer 1

考點：平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：假設存在非零實數λ、μ，使得向量

d

=λ

a

+μ

b

與

c

共線．則存在實數k使得

d

=k

c

．可得λ

a

+μ

b

=λ(

e1

+2

e2

)+μ(2

e1

-4

e2

)=k(4

e1

-7

e2

)．利用向量相等可得

λ+2μ=4k 2λ-4μ=-7k

，化簡即可得出．

解答： 解：假設存在非零實數λ、μ，使得向量

d

=λ

a

+μ

b

與

c

共線．
則存在實數k使得

d

=k

c

．
∴λ

a

+μ

b

=λ(

e1

+2

e2

)+μ(2

e1

-4

e2

)=k(4

e1

-7

e2

)．
∴

λ+2μ=4k 2λ-4μ=-7k

，
化為15λ=2μ，
只要取非零實數λ，μ滿足上式即可．

點評：本題考查了向量共線定理、向量相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．