Question

9．已知圓C經過A（-2，1），B（5，0）兩點，且圓心C在直線y=2x上．
（1）求圓C的標準方程；
（2）設動直線l：（m+2）x+（2m+1）y-7m-8=0與圓C相交于P，Q兩點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，建立方程組，即可求圓C的標準方程；
（2）直線l過定點M（3，2）．由圓的幾何性質可知，當l⊥CM時，弦長|PQ|最短．

解答 解：（1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{-2D+E+F+5=0}\\{5D+F+25=0}\\{E=2D}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=-8，F=-5．（3分）
所以圓C的方程是x²+y²-4x-8y-5=0，
即（x-2）²+（y-4）²=25．（5分）
（2）直線l的方程化為（2x+y-8）+m（x+2y-7）=0．
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-8=0}\\{x+2y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=2，所以直線l過定點M（3，2）．（7分）
由圓的幾何性質可知，當l⊥CM時，弦長|PQ|最短．
因為|CM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=$\sqrt{5}$
則|PQ|_min=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$（10分）

點評 本題考查圓的方程，考查圓的幾何性質的運用，屬于中檔題．