【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為矩形，
，側面
為等邊三角形且垂直于底面，
是
的中點.
（1）在棱
上取一點
使直線
∥平面
并證明；
（2）在（1）的條件下，當棱
上存在一點
，使得直線
與底面所成角為
時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
上取中點
，證明見詳解；（2）
【解析】
（1）找上取中點，由線線平行推證線面平行；
（2）根據線面角的大小找到棱長的等量關系，再根據三垂線定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.
（1）在上取中點，在
上取中點
，連接
，作圖如下：
由于
平行且等于
，
平行且等于，
所以平行且等于，
所以四邊形
是平行四邊形，
所以
∥
.
直線
，
，
所以∥平面
.
（2）取
中點
，連接
，
由于
為正三角形
∴
又∵平面
平面
，平面
平面
∴
平面，
連接
，四邊形
為正方形。
∵
平面
，
∴平面
平面
而平面平面
過
作
，垂足為
∴
平面
∴
為
與平面所成角，
∴
在
中，
，
∴
，
設
，
，
，
∴
，
∴
在
中，
，
∴
∴
，
，
過點H作HN垂直于CD，垂足為N，連接MN，HN
因為MH
平面ABCD,則
即為所求二面角的平面角,
在
中，因為，HN=FC=
，
由勾股定理解得
故
故二面角
的余弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了了解高一年級學生學習數學的狀態,從期中考試成績中隨機抽取50名學生的數學成績,按成績分組:第1組
,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數學成績的中位數和平均數(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優秀”等次,則根據頻率分布直方圖估計該校高一學生數學成績達到“優秀”等次的人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為
為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝asinθ（a≠0）.
（1）求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程；
（2）設直線l截圓C的弦長是半徑長的
倍，求a的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形
中，
，
是
邊上異于端點的動點，
于點
，將矩形
沿
折疊至
處，使面
面
.點
分別為
的中點.
（1）證明：
//面
；
（2）設
，當x為何值時，四面體
的體積最大，并求出最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統計結果用莖葉圖記錄如下:
(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;
(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求
的分布列和數學期望;
(Ⅲ)為便于聯絡，現將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取
個人作為聯絡員，要求每組的聯絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
）上的兩個動點
和
，焦點為F.線段
的中點為
，且點到拋物線的焦點F的距離之和為8
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若線段
的垂直平分線與x軸交于點C，求
面積的最大值.
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