Question

設θ為兩個非零向量

a

，

b

的夾角，已知對任意實數t，|

b

+t

a

|的最小值為1（　　）

• A、若|

  a

  |確定，則 θ唯一確定
• B、若|

  b

  |確定，則θ唯一確定
• C、若θ確定，則|

  a

  |唯一確定
• D、若θ確定，則|

  b

  |唯一確定

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：由題意可得，（

b

+t

a

）²=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，則令g（t）=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，可得判別式△＜0，運用二次函數的性質，求出最小值，結合向量的數量積的性質，即可得到答案．

解答： 解：（

b

+t

a

）²=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，
則令g（t）=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，
可得判別式△=4（

a

•

b

）²-4

a

2

b

2
=4

a

2

b

2cos2θ-4

a

2

b

2=-4

a

2

b

2sin²θ＜0，
由二次函數的性質，可得g（t）＞0恒成立．
且當t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ時，g（t）最小，且為1．
即g（-

| b |

| a |

cosθ）=-|

b

|²cos²θ+|

b

|²=|

b

|²sin²θ=1，
故當θ唯一確定時，|

b

|唯一確定．
故選D．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及二次函數的最值，屬中檔題．