Question

正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的側棱長為2

3

，底面邊長為4，則該球的表面積是（　　）

• A、36π
• B、32π
• C、18π
• D、16π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：設球半徑為R，底面中心為O′且球心為O．正四棱錐P-ABCD中根據AB=4，PA=2

3

，算出AO′=2

2

，可得PO′=2，OO′=PO′-PO=2-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關于R的等式，解出R=3，再利用球的表面積公式即可得到外接球的表面積．

解答： 解：如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，
∵正四棱錐P-ABCD中AB=4，PA=2

3

，
∴AO′=2

2

，可得PO′=2，OO′=PO′-PO=2-R
∵在Rt△AOO′中，AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=（2

2

）²+（2-R）²，解之得R=3，
因此可得外接球的表面積為：4πR²=36π．
故選：A．

點評：本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的表面積，著重考查了正棱錐的性質、多面體的外接球、勾股定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．