Question

設n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1
（1）當n=1，2，3，4時，計算a_n的值，你對{a_n}值有何猜想？
（2）請用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）當n=1，2，3，4時，代入計算a_n的值，n∈N^*，猜想a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）利用數學歸納法證5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被8整除．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=5¹+2×3⁰+1=8，當n=2時，a₂=5²+2×3¹+1=32，當n=3時，a₃=5³+2×3²+1=144，當n=4時，a₄=5⁴+2×3³+1=680，
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）1°當n=1時已證；
2°假設當n=k（k∈N^*）時命題成立，即5^k+2×3^k-1+1能被8整除．
則當n=k+1時，5^k+1+2×3^k+1=5•5^k+6•3^k-1+1=（5^k+2•3^k-1+1）+4（5^k+3^k-1），
∵5^k+2×3^k-1+1能被8整除，而5^k+3^k-1為偶數，
∴4（5^k+3^k-1）也能被8整除．即當n=k+1時命題也成立．
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除．

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．