Question

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞1\\（a-2）x-1，x≤1\end{array}$在（-∞，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （1，3]
• D． （2，3]

Answer 1

分析 根據函數在（-∞，+∞）上單調遞增，可知log_ax在（1，+∞）是遞增區間．即可得a＞1；（a-2）x-1在（-∞，1]也是遞增區間，a-2＞0，由log_ax的最小值大于等于（a-2）x-1的最大值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞1\\（a-2）x-1，x≤1\end{array}$在（-∞，+∞）上單調遞增，
可知log_ax在（1，+∞）是遞增區間．即a＞1，
可知（a-2）x-1在（-∞，1]也是遞增區間，即a-2＞0，解得：a＞2．
由log_ax的最小值大于等于（a-2）x-1的最大值：
可得：log_a1≥（a-2）×1-1，
解得：a≤3
所以a的取值范圍是（2，3]
故選：D．

點評 本題考查了分段函數的單調性的運用求解參數的問題．屬于中檔題．