Question

【題目】有10名選手，他們的積分分別為9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，名次分別為第1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．現進行單循環比賽（即任意兩名選手之間都恰進行一場比賽），且每場比賽都要分出勝負．若名次靠前的選手勝了名次靠后的選手，則勝者得1分，負者得0分；若名次靠后的選手勝了名次靠前的選手，則勝者得2分，負者得0分．全部比賽結束后計算每名選手的累計積分（即這次單循環所得的分數與之前的積分相加所得的和），并根據累計積分進行重新排名，求新的冠軍累計積分的最小值（允許名次并列）．

Answer 1

【答案】12

【解析】

新的冠軍累計積分的最小值為12．

若新的冠軍的得分不超過11分，則

最多勝2場；最多勝3場；最多勝4場；最多勝5場．

最多增加6分，但是開始時積分比他少的選手只有5人，

因此，若增加6分，他與名次比他靠前的選手的比賽至少勝1場，

這樣，他與名次靠后的選手的比賽最多勝4場．從而，他最多勝5場．

最多增加7分，但是開始時積分比他少的選手只有4人，

因此，若增加7分，他與名次比他靠前的選手的比賽至少勝2場，

這樣，他與名次靠后的選手的比賽最多勝3場．從而，他最多勝5場．

最多增加8分，但是開始時積分比他少的選手只有3人，

因此，若增加8分，他與名次比他靠前的選手的比賽至少勝3場，

這樣，他與名次靠后的選手的比賽最多勝2場．從而，他最多勝5場．

最多增加9分，但是開始時積分比他少的選手只有2人，

因此．若增加9分，他與名次比他靠前的選手的比賽至少勝4場，

這樣，他與名次靠后的選手的比賽最多勝1場．從而，他最多勝5場．

最多增加10分，但是開始時積分比他少的選手只有1人，

因此，若增加10分，他與名次比他靠前的選手的比賽至少勝5場．從而，他最多勝5場．

最多增加11分，他與名次比他靠前的選手的比賽最多勝5場，從而，他最多勝5場．

綜上，所有選手勝的場數最多為，但是每兩名選手進行的一場比賽都會勝一場，共勝場，矛盾．

下面的例子說明新的冠軍累計積分可以是12分．

勝，負，累計得分為；

勝，負，累計得分為；

勝，負，累計得分為；

勝，負，累計得分為；

勝，負，累計得分為；

勝，累計得分為；

勝，累計得分為；

勝，累計得分為；

勝，累計得分為；

累計得分為．