Question

【題目】已知橢圓：的右焦點，過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，當直線經過橢圓的一個頂點時其傾斜角恰好為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，線段上是否存在點，使得？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，基本方法為待定系數法，即列兩個獨立條件，解出，（2）先化簡等式：得，其中為線段的中點為，即所以直線為直線的垂直平分線，直線的垂直平分線過點，以下轉化為中點弦問題，可利用韋達定理，也可利用點差法，得出t的函數解析式，根據對應參數（直線斜率或中點坐標）的取值范圍確定實數的取值范圍

試題解析：（1）由題意知，又，所以，

，所以橢圓的方程為： ；

（2）設直線的方程為：，代入，得：

，設，線段的中點為，

則 ，

由 得： ，

所以直線為直線的垂直平分線，

直線的方程為： ，

令得：點的橫坐標，

因為， 所以，所以．

所以線段上存在點 使得，其中．