Question

13．已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)，給出下列命題：
①2a-3b+1＞0；   ②a≠0時，$\frac{b}{a}$有最小值，無最大值；
③存在正實(shí)數(shù)m，使得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞m恒成立；
④a＞0且a≠1，b＞0時，則$\frac{b}{a-1}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．
其中正確的命題是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)可得2a-3b+1＜0，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得當(dāng)a＞0時，$\frac{b}{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，從而對①②作出判斷；對于③，是看$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$有沒有極小值，根據(jù) $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$ 的取值即可得出；對于④，利用式子蘊(yùn)含的斜率的幾何意義即可解決

解答 解：由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①錯；
當(dāng)a＞0時，由3b＞2a+1，可的  $\frac{b}{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，∴不存在最小值，∴②錯；
$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$表示為（a，b）與（0，0）兩點(diǎn)間的距離，
由于原點(diǎn)（0，0）到直線2x-3y+1=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{4+9}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$，由線性規(guī)劃知識可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}＞d=\frac{\sqrt{13}}{13}$，∴③正確；
$\frac{b}{a-1}$表示點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（1，0）連線的斜率，
如圖，由線性規(guī)劃知識可知a＞0且a≠1，b＞0時，則$\frac{b}{a-1}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．，+∞）．④正確．
故選．D．

點(diǎn)評 本題主要考查了簡單線性規(guī)劃，用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．