Question

【題目】已知函數f（x）=log2（ax2+4x+5）．
（1）若f（1）＜3，求a的取值范圍；
（2）若a=1，求函數f（x）的值域．
（3）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為f（1）=log2（a+9），

所以log2（a+9）＜3=log28，

所以0＜a+9＜8，

所以﹣9＜a＜﹣1．

即a的取值范圍為（﹣9，﹣1）

（2）

解：當a=1時，f（x）=log2（x2+4x+5），

令t=x2+4x+5，則t=（x+2）2+1≥1，

f（x）=log2t在[1，+∞）上遞增，

所以log2t≥log21=0，

所以函數f（x）的值域為[0，+∞）

（3）

解：當a=0時，y=f（x）=log2（4x+5），

顯然值域為R，

a＜0時，△≥0即可，

16﹣20a≥0，解得：0＜a≤ ，

綜上，a的范圍是[0， ]

【解析】（1）計算f（1），得到關于a的不等式，解出即可；（2）令t=x2+4x+5，則t=（x+2）2+1≥1，問題轉化為log2t≥log21=0，求出函數的值域即可；（3）通過討論a的范圍，結合二次函數的性質求出a的范圍即可．