Question

已知函數y=g（x）與f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象關于原點對稱．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）函數F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上的任意一點，M關于原點的對稱點N（-x，-y）在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，代入f（x）解析式化簡可得；
（2）由題意可判F（x）為定義域為（-1，1）的奇函數且單調遞減，故原不等式可化為F（t²-1）＜F（0），即t²-1＜0，解不等式可得．

解答：解：（1）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上的任意一點，
則M關于原點的對稱點N（-x，-y）在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1），即y=-log_a（1-x），
（2）由題意可得F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

1+x

1-x

＞0可解得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），
又F（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-F（x），
∴F（x）為奇函數，必有F（0）=0
又∵F（x）=loga

1+x

1-x

=loga(

2

1-x

-1)，0＜a＜1，
∴F（x）為（1-，1）上的減函數，
∴F（t²-1）＜0可化為F（t²-1）＜F（0），
由單調性可得t²-1＜0，解得-1＜t＜1

點評：本題考查函數的解析式的求解和函數的性質，屬基礎題．