Question

已知函數y=g（x）的圖象與f(x)=x+

1

x

的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求y=g（x）的函數解析式；
（2）設F(x)=g(x)+

a

x

（a∈R），若對任意x∈（0，2]，F（x）≥8恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設g（x）上任意一點 （x，y ） 關于 A（0，1）的對稱點為 （x'，y'）根據中點坐標公式建立等式，根據點（x'，y'）在函數f（x）的圖象上，代入函數f（x）解析式，即可求出函數g（x）的解析式；
（2）要使F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8對任意x∈（0，2]恒成立，可轉化成a≥-x²+6x-1對任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max，從而求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設g（x）上任意一點（x，y ） 關于 A（0，1）的對稱點為 （x'，y'），
則根據中點坐標公式得

x+x′

2

=0，

y+y′

2

=1
整理得x'=-x，y'=2-y
而點（x'，y'）在f（x）的圖象上，
代入函數f(x)=x+

1

x

得f（x'）=f（-x）=-x-

1

x

=2-g（x）
整理得g（x）=2+x+

1

x

（2）F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8對任意x∈（0，2]恒成立
∴a≥-x²+6x-1對任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max=-4+12-1=7
∴實數a的取值范圍是[7，+∞）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用函數的對稱性求函數解析式，同時考查了分離法的運用，屬于中檔題．