Question

已知函數y=g（x）與f（x）=log_a^（x+1）（a＞1）的圖象關于原點對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）若函數F（x）=f（x）+g（x）+m為奇函數，試確定實數m的值；
（3）當x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上任意一點，進而可得M（x，y）關于原點的對稱點為N的坐標，代入f（x）中進而求得x和y的關系式．
（2）跟函數F（x）為奇函數求得F（-x）=-F（x）代入解析式即可求得m的值．
（3）利用f（x）+g（x）≥n求得loga

1+x

1-x

≥n，設Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，只要Q（x）_min≥n即可，根據F(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函數進而求得函數的最小值，求得n的范圍．

解答：解：（1）設M（x，y）是函數y=g（x）圖象上任意一點，
則M（x，y）關于原點的對稱點為N（-x，-y）
N在函數f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1）
（2）∵F（x）=log_a^（x+1）-log_a^（1-x）+m為奇函數．
∴F（-x）=-F（x）
∴log_a^（1-x）-log_a^（1+x）+m=-log_a^（1+x）+log_a^（1-x）-m
∴2m=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga1=0，∴m=0
（3）由f(x)+g(x)≥n得，loga

1+x

1-x

≥n
設Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，由題意知，只要Q（x）_min≥n即可
∵Q(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函數
∴n≤0

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．