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(2012•棗莊二模)已知函數(shù)f(x)=2co
s
2
 
ωx-1+2
3
cosωxsinωx(0<ω<1)
,直線x=
π
3
是f(x)
圖象的一條對稱軸.
(1)試求ω的值:
(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍,然后再向左平移
3
個單位長度得到,若g(2α+
π
3
)=
6
5
,α∈(0,
π
2
),求sinα
的值.
分析:(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x) 的解析式為2sin(2ωx+
π
6
),根據(jù)直線x=
π
3
是f(x)
圖象的一條對稱軸,故2sin(2ω•
π
3
+
π
6
)=2,故有 2ω•
π
3
+
π
6
=kπ+
π
2
,k∈z,再由0<ω<1,求出ω 的值.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2ωx+
π
6
),可得g(x)=2cos
1
2
x
.由 g(2α+
π
3
)=
6
5
,α∈(0,
π
2
)
,可得 
cos(α+
π
6
)=
4
5
.再由sinα=sin[(α+
π
6
)-
π
6
],利用兩角和的正弦公式求得結果.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=2co
s
2
 
ωx-1+2
3
cosωxsinωx(0<ω<1)

∴f(x)=cos(2ωx)+
3
sin(2ωx)=2sin(2ωx+
π
6
).
∵直線x=
π
3
是f(x)
圖象的一條對稱軸,故2sin(2ω•
π
3
+
π
6
)=2,即 sin(2ω•
π
3
+
π
6
)=1,
故有 2ω•
π
3
+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈z,故ω=3k+
1
2
,k∈z.
再由0<ω<1,可得-
1
3
<k<
1
3
,∴ω=
1
2

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2ωx+
π
6
),可得g(x)=2sin[
1
2
(x+
3
)+
π
6
]=2cos
1
2
x

g(2α+
π
3
)=
6
5
,α∈(0,
π
2
)
,可得 2cos
1
2
(2α+
π
3
)
=
6
5
,故 cos(α+
π
6
)=
4
5
..
故sinα=sin[(α+
π
6
)-
π
6
]=sin(α+
π
6
)cos
π
6
-cos(α+
π
6
)sin
π
6
=
4
5
×
3
2
-
3
5
×
1
2
=
4
3
-3
10
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的圖象變換,兩角和的正弦公式,屬于中檔題.
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3
2
)=-f(x)
,且函數(shù)y=f(x-
3
4
)
為奇函數(shù),給出三個結論:
①f(x)是周期函數(shù);②f(x)是圖象關于點(-
3
4
,0)對稱;③f(x)是偶函數(shù).其中正確結論的個數(shù)為(  )

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S5
S3
的值為(  )

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3
5
,則cos(α-
π
4
)
=
-
2
10
-
2
10

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2
)及拋物線
y
2
 
=4x
上一動點P(x,y),則x+|PQ|的最小值是
2
2

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