Question

已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標為（x，y）．
（I）求當x，y∈R時，P滿足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率；
（II）求當x，y∈Z時，P滿足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率．

Answer 1

分析：（I）因為x，y∈R，且圍成面積，則為幾何概型中的面積類型，先求區域為正方形ABCD的面積以及（x-2）²+（y-2）²≤4的點的區域即以（2，2）為圓心，2為半徑的圓的面積，然后求比值即為所求的概率．
（II）因為x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2，基本事件是有限的，所以為古典概型，這樣求得總的基本事件的個數，再求得滿足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的基本事件的個數，然后求比值即為所求的概率．

解答：解：（I）如圖，點P所在的區域為正方形ABCD的內部（含邊界），滿足（x-2）²+（y-2）²≤4的點的區域為以（2，2）為圓心，2為半徑的圓面（含邊界）．
∴所求的概率P1=

1 4 π×22

4×4

=

π

16

．
（II）滿足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的點有25個，
滿足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的點有6個，
依次為（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P2=

6

25

．

點評：本題主要考查幾何概型中的面積類型和古典概型，兩者最明顯的區別是古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的．