Question

（本小題滿分14分）已知Sn為數列{an}的前n項和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．

（1）求數列{an}的通項an；

（2）若，求數列的前n項和Tn；

（3）設的前n項和為An，是否存在最小正整數m，使得不等式An<m對任意正整數n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2），（3）存在最小正整數

【解析】

試題分析：(1)當時，可求得，當 時，利用可求，注意驗證是否符合；

（2）由(1)可知，利用錯位相減法即可求得Tn

（3）由（1）（2）可得，化簡得，

考慮裂項相消法可得，可求得，由題

不等式對任意正整數恒成立，則

試題解析：(Ⅰ) 當時，；

當時，，，相減得

又， 所以是首項為，公比為的等比數列，所以

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，所以

所以

兩式相減得，

所以(或寫成，均可)

（Ⅲ）=

所以

若不等式對任意正整數恒成立，則，

所以存在最小正整數，使不等式對任意正整數恒成立

考點：數列通項公式，錯位相減法，裂項相消法，恒成立問題