Question

已知函數f（x）是定義域為R的函數，且滿足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，則不等式f（x）+1＜3e^x-1的解集為

 

．

Answer 1

考點：導數的運算,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：構造函數g（x）=

f(x)+1

ex-1

，利用導數研究其單調性即可得出．

解答： 解：構造函數g（x）=

f(x)+1

ex-1

，則g′（x）=

f′(x)-f(x)-1

ex-1

，
∵滿足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調遞減，g（1）=f（1）+1=3．
∴不等式f（x）+1＜3e^x-1變為g（x）=

f(x)+1

ex-1

＜g(1)，
解集為{x|x＞1}．
故答案為：{x|x＞1}．

點評：本題考查了構造函數法、利用導數研究其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．