Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y+3=0，P點坐標為（2，-1），過點P作圓C的切線，切點為A，B．
（1）求直線PA、PB的方程；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）根據直線和圓相切，轉化為圓心到直線的距離等于半徑即可求直線PA、PB的方程；
（2）根據條件構造一AB，為公共弦的圓的方程，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（1）設過P 點的圓的切線方程為y+1=k（x-2）．即kx-y-2k-1=0．

∵圓心（1，2）到直線的距離

2

．即

|-k-3|

1+k2

=

2

，
∴k²-6k-7=0．∴k=7或k=-1．
∴所求的切線方程為y+1=7（x-2）或y+1=-（x-2），
即7x-y-15=0或x+y-1=0．
（2）在Rt△PCA中，∵|PC|=

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

，|CA|=

2

∴|PA|²=|PC|²-|CA|²=8，以P為圓心，|AP|為半徑的圓P的方程為（x-2）²+（y+1）²=8，
AB為圓C與圓P的公共弦由x²+y²-2x-4y+3=0與x²+y²-4x+2y-3=0相減得：
2x-6y+6=0，x-3y+3=0．
∴直線AB的方程為x-3y+3=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用直線和圓相切的等價條件是解決本題的關鍵．