Question

已知橢圓C中心在原點O，焦點在x軸上，其長軸長為焦距的2倍，且過點M（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）若斜率為1的直L與橢圓交于不同兩點A．B，求△AOB面積的最大值及此時直線L的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，從而得到

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，從而求出a，b，c；
（2）設直線L的方程為y=x+b，與橢圓方程聯立消元得7x²+8bx+4b²-12=0，從而求出-

7

＜b＜

7

；再由韋達定理及兩點間的距離公式求|AB|的長度，再求點O到直線AB的距離，從而寫出△AOB的面積S，
利用基本不等式求最值及最值點．從而得到直線L的方程．

解答： 解：（1）由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則可得，

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，
解得，c=1，a=2，b=

3

；
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設直線L的方程為y=x+b；
則與

x2

4

+

y2

3

=1聯立消y可得，
7x²+8bx+4b²-12=0，
△=（8b）²-4×7×（4b²-12）＞0，
解得-

7

＜b＜

7

；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達定理可得，
x₁+x₂=

-8b

7

，x₁x₂=

4b2-12

7

；
故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64b2 49 -4 4b2-12 7

=

4 3

7

7-b2

；
故|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 6

7

7-b2

；
點O到直線AB的距離d=

|b|

2

；
故△AOB的面積S=

1

2

×

4 6

7

7-b2

×

|b|

2

=

2 3

7

(7-b2)b2

≤

2 3

7

•

7-b2+b2

2

=

3

；
（當且僅當7-b²=b²，即b=±

14

2

時，等號成立）；
故此時直線L的方程為：
y=x±

14

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線的求法及直線與圓錐曲線的交點及形成的圖象的面積問題，屬于難題．