Question

18．已知函數f（x）=mlnx-$\frac{2n}{x}$（m，n∈R）在x=1處有極值1．
（1）求實數m，n的值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用函數的極值為1，列出方程組，求解即可．
（2）化簡函數的解析式，利用導函數的符號，判斷函數的單調性，求解函數的單調區間即可．

解答 解：（1）由條件函數f（x）=mlnx-$\frac{2n}{x}$得f′（x）=$\frac{m}{x}+\frac{2n}{{x}^{2}}$．
因為f（x）在x=1處有極值1，得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2n=1}\\{m+2n=0}\end{array}\right.$解得m=1，n=-$\frac{1}{2}$．
經驗證滿足題意．…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，得x＞1；f′（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函數f（x）的單調減區間是（0，1），單調增區間是（1，+∞）． …（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調區間的求法，考查計算能力．