Question

已知某幾何體的正視圖、側視圖都是等腰三角形，俯視圖是矩形，尺寸如圖所示．

（1）寫出這個幾何體的兩條結構特征；
（2）求該幾何體的體積V；
（3）求該幾何體的全面積S．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，這一幾何體是一個四棱錐，從而寫出這個幾何體的兩條結構特征；
（2）且四棱錐的底面是一個長為8，寬為6的矩形，四棱錐的高為4，所以體積可用

1

3

乘以底面積，再乘高來求；
（3）表面積可用底面積再加四個側面三角形面積來求，最后把底面積和側面積相加即可．

解答：解：（1）幾何特征：（i）底面為矩形； （ii）頂點在底面的射影是矩形中心； 
（2）這個幾何體是一個四棱錐，體積V=

1

3

×(8×6)×4=64；---（3分）
（3）該四棱錐有兩個側面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1=

42+( 8 2 )2

=4

2

，
另兩個側面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2=

42+( 6 2 )2

=5，
因此全面積S=2(

1

2

×6×4

2

+

1

2

×8×5)+6×8=88+24

2

．---（4分）

點評：本題考查了根據三視圖求幾何體的體積和表面積，屬于基礎題，應該掌握．