Question

已知p：?x＞0，x²-ax+1＞0，q：a≤2，則p是q的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分條件也不必要條件

Answer 1

分析：首先將條件p化簡，根據二次函數的單調性結合分類討論的方法進行化簡，可得條件p：?x＞0，x²-ax+1＞0，即p：a＜2．再結合充分必要性的定義，進行正反推出論證，不難得到正確答案．

解答：解：先化簡條件p：?x＞0，x²-ax+1＞0．
可化為F（x）=x²-ax+1在（0，+∞）的最小值大于零
①當

a

2

≤0時，即a≤0時，
函數F（x）在區間（0，+∞）上為增函數，F（x）min＞F（0）=1，不等式顯然成立；
②當

a

2

＞0時，即a＞0時，
F（x）min=F（

a

2

）=1-

a2

4

＞0，得0＜a＜2
綜上所述，條件p：a＜2
由此可得，當條件p：a＜2成立時，必定有條件q：a≤2成立，說明充分性成立；
當條件q：a≤2成立時，有可能a=2，不一定有條件p：a＜2成立，因此沒有必要性．
所以p是q的充分不必要條件
故選A

點評：本題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，以及二次函數恒成立等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中的分類討論和轉化化歸的數學思想．