Question

若不全為零的實數a，b，c成等差數列，點A（1，2）在動直線l：ax+by+c=0上的射影為P，點Q在直線3x-4y+12=0上，則線段PQ長度的最小值是

 

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：由已知得點P在以（1，0）為圓心，2為半徑的圓上，線段PQ長度的最小值等于圓心（1，0）到直線3x-4y+12=0的距離d減去圓半徑2．

解答： 解：∵不全為零的實數a，b，c成等差數列，
∴b=

a+c

2

，代入動直線l：ax+by+c=0，
得ax+

a+c

2

y+c=0，化為a（2x+y）+c（y+2）=0，
∵a，c不全為0，∴

2x+y=0 y+2=0

，解得x=1，y=-2，
∴動直線l過定點Q（1，-2），
設點P（x，y），∵AP⊥QP．
∴

AP

•

QP

=（x-1，y-2）•（x-1，y+2）=0，
整理，得x²+y²-2x-3=0，
∴點P在以（1，0）為圓心，2為半徑的圓上，
∵點Q在直線3x-4y+12=0上，
∴線段PQ長度的最小值等于圓心（1，0）到直線3x-4y+12=0的距離d減去圓半徑2，
∴|PQ|_min=

|3-0+12|

9+16

-2=1．
故答案為：1．

點評：本題考查線段長的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．