Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=-f（-x），且當x≥0時，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅱ）求滿足f（2-x²）＜f（x）的實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）先判斷f（x）是奇函數，再根據奇偶性求出x＜0時f（x）的解析式；
（Ⅱ）先判斷函數f（x）的單調性，再根據函數f（x）的單調性化簡不等式f（2-x²）＜f（x），求出解集．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=-f（-x），知f（x）是奇函數，
當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），
 即-f（-x）=x²-2x，
∴當x＜0時，f（x）=-x²+2x；…（6分）
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）=x²+2x；
∵當x≥0時，f′（x）=2x+2＞0，
∴f（x）在（0，+∞） 是增函數；
又∵f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-∞，+∞）是增函數；
又∵f（2-x²）＜f（x），
∴2-x²＜x，
解得x＜-2或x＞1；
∴滿足f（2-x²）＜f（x）的實數x的取值范圍是
（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（13分）

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是綜合題目．