Question

已知方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）的四個根組成一個首項為

1

4

的等比數列，則a-b=（　　）

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  8

Answer 1

分析：由一元二次方程根與系數的關系和等比數列性質，四個根組成的首項為

1

4

的等比數列，且首項與末項的積等于第二項與第三項的積等于2，從而確定數列的每一項，再由兩根之和分別為a、b，即可求出結果．

解答：解：∵方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）
等價于2x²-2ax+1=0 ①或2x²-2bx+1=0 ②
設方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，
由韋達定理可得x₁x₄=

1

2

，x₁+x₄=a  x₂x₃=

1

2

，x₂+x₃=b
又方程（2x²-2ax+1）（2x²-2bx+1=0）的四個根組成一個首項為

1

4

的等比數列，
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數列的前四項，且x₁=

1

4

，x₄=

1 2

1 4

=2，
∴數列的公比為2，∴x₂=

1

2

，x₃=1，
∴a=x₁+x₄=

9

4

，b=x₂+x₃=

3

2

，故a-b=

9

4

-

3

2

=

3

4

，
故選B

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系和等比數列的性質，解題時要認真觀察，熟練運用性質，屬中檔題．