Question

（本小題滿分14分）已知函數.
(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；
(Ⅱ)求函數在區間上的最小值；
(Ⅲ)若關于的方程在區間內有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ) ∵，∴，，
∴所求的切線方程為.             ………………………………………………3分
(Ⅱ).
由得.
①當，即時，,在上為增函數，；
②當，即時，在上,為減函數，在上,為增函數，；
③當，即時，,在上為減函數，.
…………………………8分
綜上所述，.                   ……………………………9分
(Ⅲ)∵，方程： 在上有兩個不相等的實數根，
等價于方程： 在上有兩個不相等的實數根.
令，則，
令，得(舍去)，，因此在內是減函數，在內是增函數，因此，方程在內有兩個不相等的實數根，只需方程:
 在和內各有一個實根，
于是，解得,
∴a的取值范圍是.                          …………………………14分

略