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7.已知橢圓4x2+y2=1及l(fā):y=x+m.
(1)當(dāng)m為何值時,直線l與橢圓有公共點?
(2)若直線l被橢圓截得的弦長為$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$,求直線l方程.

分析 (1)把直線y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0,利用△≥0,即可得出.
(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得弦長,就看得出.

解答 解:(1)把直線y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0,①
∴△=4m2-20(m2-1)=-16m2+20≥0,$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤m≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$.
(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,
由①得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{5}\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-1}}{5}\end{array}\right.$,
∴${({x_1}+{x_2})^2}-4{x_1}{x_2}={(-\frac{2m}{5})^2}-\frac{{4({m^2}-1)}}{5}=\frac{{-16{m^2}+20}}{25}$,
∴$|AB|=\sqrt{{{(1+k)}^2}[{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{2×\frac{{-16{m^2}+20}}{25}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$,
解得$m=±\frac{1}{2}$.
∴所求直線方程為$y=x±\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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