Question

對于函數f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常數M中，我們把M中的最小值稱為函數f（x）的“上確界”．已知函數f（x）=

x2+2x+1

x2+1

+a（x∈[-2，2]）是奇函數，則f（x）的上確界為（　　）

• A、2
• B、

  9

  5

• C、1
• D、

  4

  5

Answer 1

分析：首先根據函數是奇函數求出a=-1，然后將函數化成f（x）=

2

x+ 1 x

，再根據均值不等式求出函數的最小值，即可得出答案．

解答：解：∵函數f（x）=

x2+2x+1

x2+1

+a（x∈[-2，2]）是奇函數
∴f（0）=0
∴a=-1
f（x）=

x2+2x+1

x2+1

-1=

2

x+ 1 x

∵x+

1

x

≥2
∴f（x）=

x2+2x+1

x2+1

-1=

2

x+ 1 x

≤1
∴f（x）的上確界為1
故選C．

點評：本題考查了函數的最值以及奇函數的特點，解題的關鍵是根據奇函數求出a的值，屬于中檔題．