Question

如圖,在梯形中，,，,平面平面,四邊形是矩形,,點在線段EF上.

(1)求異面直線與所成的角；

(2)求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）90⁰ ；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要求異面直線所成的角，可轉化為求其中一條直線與另外一直線的平行線所成的角的大小；（2）法一：利用幾何法，求二面角需要先找出二面角的平面角，再在平面角所在的三角形中根據邊長由余弦定理求平面角的余弦值，即二面角的余弦值；法二：利用向量法，首先建立直角坐標系，寫出所需各點的坐標以及向量的坐標，再設出二面角所在兩個面的法向量，利用向量垂直求出法向量的一組值，求兩個法向量的夾角的余弦值，從而得二面角的余弦值.

試題解析：（1）在梯形ABCD中,∵,

∴四邊形ABCD是等腰梯形, 且

∴,∴

又∵平面平面ABCD,交線為AC,∴平面ACFE. ∴ 平面FE.

∴異面直線與所成的角為90⁰                               7分

（2）方法一;(幾何法)取EF中點G,EB中點H,連結DG、GH、DH,

∵容易證得DE=DF,∴

∵平面ACFE,∴  又∵,∴

又∵,∴

∴是二面角B—EF—D的平面角.

在△BDE中

∴∴,

∴又∴在△DGH中,

由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值為.    15分

方法二;(向量法)以C為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系，

,,,,

所以,,

分別設平面BEF與平面DEF的法向量為

,

所以,令,則

又，顯然,令

所以,,設二面角的平面角為為銳角

所以      15分

考點：1、異面直線所成的角；2、二面角；3、面面垂直的性質定理；4、余弦定理．