Question

命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命題q：實數x滿足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）先通過解不等式及不等式組求出命題p，q，并代入a=1得到命題p：1＜x＜3，命題q：2＜x≤3，而p∧q為真，所以求出p真q真時x的取值范圍，再求交集即可；
（2）先寫出￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0，￢q：x≤2，或x＞3，而根據￢p是￢q的充分不必要條件可得

a≤2 3a＞3

，解該不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）解x²-4ax+3a²＜0，a＞0，得：a＜x＜3a；
∴命題p：a＜x＜3a，a＞0；
命題q：2＜x≤3；
∴a=1時，命題p：1＜x＜3，p∧q為真；
∴p真q真；
∴

1＜x＜3 2＜x≤3

；
∴2＜x＜3；
∴實數x的取值范圍為（2，3）；
（2）￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0；
￢q：x≤2，或x＞3；
∴若￢p是￢q的充分不必要條件，則：

a≤2 3a＞3

；
∴1＜a≤2；
∴實數a的取值范圍為（1，2]．

點評：考查一元二次不等式的解法，含絕對值不等式、分式不等式的解法，以及p∧q真假和p，q真假的關系，由p，q能寫出￢p，￢q，充分不必要條件的概念．