Question

如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD=a，∠ABC=β．
（1）證明sina+cos2β=0；
（2）若AC=

3

DC，求β的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式可求得α=2β-

π

2

，進而利用誘導公式求得sinα=-cos2β，整理得sinα+cos2β=0．原式得證．
（2）根據正弦定理可求得sinβ=

3

sinα進而利用（1）中的結論求得sinβ-

3

(1-2sin2β)代入sinβ=

3

sinα即可求得sinβ，
進而求得β的值．

解答：解：（1）∵α=

π

2

-∠BAD=

π

2

-(π-2β)=2β-

π

2

∴sinα=sin(2β-

π

2

)=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
（2）△ADC中由正弦定理

DC

sinα

=

AC

sin(π-β)

即

DC

sinα

=

AC

sinβ

則sinβ=

3

sinα
由（1）得sinβ=-

3

cos2β=-

3

(1-2sin2β)
即2

3

sin2β-sinβ-

3

=0
解得sinβ=

3

2

或sinβ=-

3

3

∵0＜β＜

π

2

∴sinβ=

3

2

∴β=

π

3

點評：本題主要考查了誘導公式化簡求值，正弦定理．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．