Question

如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD=α,∠ABC=β．

（1）證明sinα+cos2β=0；

（2）若AC=DC，求β的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，因為α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,所以sinα=sin(2β-)=-cos2β,?即sinα+cos2β=0.

（2）解：在△ABC中，由正弦定理得=，即=.,?所以sinβ=sinα.?由（1），sinα=-cos2β.?所以sinβ=-cos2β=- (1-2sin²β),?即2sin²β-sinβ-3=0.?解得sinβ=或sinβ=-.?因為0＜β＜，所以sinβ=.?從而β=.